Ecuaciones en diferencia y finanzas

Valor futuro y fórmulas financieras

El valor futuro (F) de una inversión (P) a una tasa de interés (i) durante (n) períodos se expresa como:

\[ F=P(1+i)^n \] Cada período multiplica el capital por \((1+i)\).
La relación entre períodos consecutivos puede verse como: \[ F_n = (1+i)F_{n-1}, \]

una ecuación en diferencia que representa crecimiento exponencial discreto.

Del interés compuesto a la ecuación en diferencia

El modelo discreto: \[ F_{n+1} = (1+i)F_n \]

describe el interés compuesto acumulativo.
Si \((i = 0.1)\) y \((F_0 = 1000)\):
\[ (F_1 = 1100,; F_2 = 1210,\; F_3 = 1331, \dots\ \] Esta forma recursiva permite analizar o simular el comportamiento del dinero a lo largo del tiempo.

Ventajas del enfoque con ecuaciones en diferencia

• Permite observar la evolución temporal del capital paso a paso.
  
• Facilita la simulación mediante algoritmos iterativos.
  
• Acepta términos variables, como aportes o retiros periódicos.
  
• Se adapta a análisis predictivos y de riesgo financiero.

Modelos financieros como ecuaciones en diferencia

Interés compuesto: \[ F_{n+1} = (1+i)F_n \]

Serie uniforme (aportes constantes (A)): \[ F_{n+1} = (1+i)F_n + A \]

Serie con gradiente aritmético: \[ F_{n+1} = (1+i)F_n + (A + Gn), \]

donde \(G\) es el cambio progresivo en los pagos.
Cada uno representa una variación del modelo general de crecimiento financiero discreto.

Simulación de modelos financieros

Ejemplo de interés compuesto:

Periodo 1: F = 1100.00
Periodo 2: F = 1210.00
Periodo 3: F = 1331.00
Periodo 4: F = 1464.10
Periodo 5: F = 1610.51

Ejemplo de serie uniforme:

Periodo 1: F = 200.00
Periodo 2: F = 416.00
Periodo 3: F = 649.28
Periodo 4: F = 901.22
Periodo 5: F = 1173.32
Periodo 6: F = 1467.19

Estas simulaciones reproducen exactamente la ecuación en diferencia asociada a cada modelo.

Interpretación dinámica del valor del dinero

La ecuación: \[ F_{n+1} - F_n = iF_n \] muestra que el cambio de un período a otro es proporcional al capital actual.
Representa un crecimiento exponencial discreto, donde el dinero genera más valor conforme aumenta.
Este enfoque permite modelar fenómenos financieros como inversiones, préstamos o inflación en el tiempo.